Ways!

異なるn個の元 (element) からなる有限集合 (finite set) の中からr個を選ぶ順列 (permutation) や組み合わせ (combination) の総数 (number of ways) を計算します。

場合の数の計算

`n`と`r`から算出
項目	結果
組合せ
重複組合せ
順列
重複順列
円順列
数珠順列
確率

`n`のみで算出
項目	結果
完全順列
階乗 `n`!
二重階乗`n`‼
中心二項係数
Catalan数
Motzkin数
電話数
怠け仕出し屋数
ケーキ数

使用方法

nとr (n≥r≥0) に999以下の自然数 (natural number) を入力してから、[計算]ボタンをクリックします。

以下の値はnとrの両方から算出します。

組合せ (combination) _nC_r: 異なるn個の中からr個を重複なく選んだときの組合せの数。(x+y)ⁿの展開におけるx^n-ry^rの係数である二項係数 (binomial coefficients) と同じ
重複組合せ (combination with repetition) _nH_r: 異なるn個の中からr個を重複を許して選んだときの組合せの数
順列 (permutation) _nP_r: 異なるn個の中からr個を重複なく選んで並べたときの場合の数
重複順列 (permutation with repetition) _nΠ_r: 異なるn個の中からr個を重複を許して並べたときの場合の数
円順列 (circular permutation) cir(n,r): 異なるn個の中からr個を重複なく選んで円形に並べたときの場合の数
数珠順列 (necklace problem) neck(n,r): 円順列のうち、裏返して一致するものを同じとみなしたときの場合の数
確率 (probability: 全体がn通り、事象Aが起こる場合がr通りのときのAが起こる確率p(r)

以下の値はnのみからの算出で、rは使用しません。

完全順列 (complete permutations)・攪乱順列 (derangement) D_n, !n: 1からnまでの自然数を要素とする順列において、i番目 (i≤n) がiでない順列
階乗 (factorial) n!: 1からnまでの全ての自然数の積
二重階乗 (double factorial) n‼: 1からnまでnと同じ偶奇性 (parity) を持つ自然数の積
中心二項係数 (central binomial coefficient) _2nC_n: パスカルの三角形 (Pascal's triangle) の奇数行の真ん中の値
カタラン数 (Catalan number) c_n: 中心二項係数をn+1で除した値で、ノード (node) 数nの二分木 (binary tree) の総数、n-1段の階段状格子路の最短経路、凸n+2角形 (convex n+2 polygon) の三角形分割、n組の括弧付けなどの数え上げに登場する数
モツキン数 (Motzkin number) M_n: 円周上の相異なるn個の点を互いに交わらない線分で結ぶ方法の数
電話数 (telephone number) T_n: n人の電話加入者が1:1で接続できる最大数。また、n個の要素の集合からそれ自身への写像のうち、2回行うと元の要素に戻るものである対合 (involution) の総数を表す対合数 (involution number) と同じ
怠け仕出し屋数 (lazy caterer number): 円形の平面をn回の直線カットで分割できる最大の破片数［別名: 中心多角形数 (central polygonal number)］
ケーキ数 (cake number): 3次元の立方体を正確にn枚の平面で分割できる領域の最大数

利用上の注意

Microsoft Edge、Internet Exploler 11、FireFox 45.0以降での動作を確認しています。

その他のブラウザでの動作は保証いたしません。

計算結果が9007199254740991 (=2⁵³−1) より大きいときは指数表現の近似値になります。

計算結果が1.7976931348623157×10³⁰⁸ (≈2¹⁰²⁴) 以上のときは"Infinity"と表示します。

円順列ではn≥r>0、数珠順列ではn≥r≥3である必要があります。

サポートは一切行いません。

気が向いたときに改良や修正をします。

アルゴリズム

各値は次式で算出しています。

階乗

n! = \prod_{k = 1}^{n} k = n \times (n - 1) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1

二重階乗

n!! = \prod_{k = 0}^{⌈ n / 2 ⌉ - 1} (n - 2 k) = {\begin{cases} n \times (n - 2) \times \dots \times 4 \times 2 & (n:even) \\ n \times (n - 2) \times \dots \times 3 \times 1 & (n:odd) \end{cases}

順列

{}_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1)

組合せ

{}_{n}C_{r} = \frac{{}_{n}P_{r}}{r!} = \frac{n!}{r! (n - r)!} = \frac{n}{1} \times \frac{n - 1}{2} \times \dots \times \frac{n - r + 1}{r}

重複組合せ

{}_{n}H_{r} = {}_{n + r - 1}C_{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r! (n - 1)!}

重複順列

{}_{n}Π_{r} = n^{r} = n \times n \times \dots \times n

円順列

cir (n, r) = \frac{{}_{n}P_{r}}{r} = \frac{n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)}{r}

数珠順列

neck (n, r) = \frac{cir (n, r)}{2} = \frac{{}_{n}P_{r}}{2 r} = \frac{n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)}{2 r}

確率

p (r) = \frac{r}{n}

完全順列

{\begin{cases} D_{1} = 0, D_{2} = 1 \\ D_{n} = (n - 1) \times (D_{n - 1} + D_{n - 2}) & (n≥3) \end{cases}

中心二項係数

{}_{2 n}C_{n} = \frac{(2 n)!}{{(n!)}^{2}}

カタラン数

c_{n} = \frac{{}_{2 n}C_{n}}{n + 1} = \frac{(2 n)!}{n! (n + 1)!}

モツキン数

{\begin{cases} M_{0} = 1, M_{1} = 1 \\ M_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 2} M_{n - 1} + \frac{3 n - 3}{n + 2} M_{n - 2} & (n≥2) \end{cases}

電話数

{\begin{cases} T_{0} = 1, T_{1} = 1 \\ T_{n} = T_{n - 1} + (n - 1) T_{n - 2} & (n≥2) \end{cases}

怠け仕出し屋

p_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2} = \frac{n (n + 1)}{2} + 1

ケーキ数

C_{n} = \frac{1}{6} (n^{3} + 5 n + 6) = \frac{(n \times n + 5) n}{6} + 1

確率で表示する分数 (fraction) は分子 (numerator) と分母 (denominator) の最大公約数 (greatest common divisor) をユークリッドの互除法 (Euclidean Algorithm) で求めて約分 (reduce a fraction) をしています。下記の reduce_fraction 関数の戻り値はMathML (Mathematical Markup Language) の文字列で返しています。

var reduce_fraction = function(num, denom) { const tag_math_1 = '<math><mfrac><mn>'; const tag_math_2 = '</mn><mn>'; const tag_math_3 = '</mn></mfrac></math>'; var gcd = (function(a, b) { /* Euclidean Algorithmによる最大公約数の計算 */ var r; while (b !== 0) { r = a % b; a = b; b = r; } return Math.abs(a); }(num, denom)); num /= gcd; denom /= gcd; return tag_math_1 + num + tag_math_2 + denom + tag_math_3; };